哈囉你好的部落格

推薦序
自序
基本的摺紙記號

｜主題一：鑲嵌與對稱
第一章　摺紙數學初體驗──從鑲嵌摺紙談對稱的應用
第二章　用名片紙摺出立方體──兼談「三視圖」和對稱

【藝數摺學手作坊】從翻摺看對稱──挑戰內外翻摺紙環！

｜主題二：勾股定理
第三章　發揮數學的創意──從摺紙學畢氏定理
第四章　從平面到立體──勾股收納盒中盒

【藝數摺學手作坊】黃金勾股收納盒

｜主題三：四面體、八面體到截半立方體
第五章　從會考試題談起──正四面體摺紙
第六章　從正四面體到正八面體──兼談四面體切割
第七章　從正四面體切割到截半立方體──初探紙環編
第八章　用撲克牌做出截半立方體──兼談對偶正多面體

【藝數摺學手作坊】色紙卡接截半立方體

｜主題四：平行八角星
第九章　來個動感摺紙！──平行八角星探索

【藝數摺學手作坊】平行八角星再應用──立體八角星與多次預言魔術

｜主題五：影印紙的立體應用
第十章　善用生活中的巧妙比例──從四角錐到填充八面體
第十一章　影印紙比例再應用──藝數摺學立方體

【藝數摺學手作坊】從等腰三角形貝殼螺線學相似

｜主題六：相似與內心
第十二章　無止境的相似──百轉千摺
第十三章　來摺三角板吧！──兼談三角形內心

後記與誌謝

 推薦序──讚賞「藝數」，光大「摺學」

李國偉（中央研究院數學所兼任研究員、國立中山大學榮譽講座）

　　《藝數摺學》這個書名起得有智慧。如果把四個字分開：藝、數、摺、學，表示內容包含藝術、數學、摺紙、教學。如果兩個字一組，就引入了兩個新名詞：「藝數」與「摺學」。「藝數」包含的範圍至少有：（1）以藝術手法展示數學內容；（2）受數學思想或成果啟發的藝術；（3）數學家創作的藝術。近年來摺紙藝術水平大幅提昇，早就超越傳統童玩的範圍。在理論研究方面涉及愈來愈多的現代數學與計算機科學，在應用方面則進軍航太、醫技、服裝、機器人多種領域，影響層面之廣闊足以構成一門新學問「摺學」。至於「藝數摺學」四字合體，正是本書作者李政憲老師用心經營的臉書社團名稱。
政憲老師有旺盛的精力、充沛的熱情，以及強烈的使命感，風塵僕僕在全國各地奔走，既輔導學生學習，也帶領教師在職進修，並且頻頻現身於各種社會科普活動，2019年獲頒師鐸獎可謂實至名歸。政憲老師經由「藝數摺學」社團，聚集了很多願意奉獻、有行動力的老師，促成摺紙活動到處開花。「藝數摺學」社團成員已經超出九千，便是驚人的紀錄。

　　本書的摺紙單元能與國中數學課程對應起來，與坊間一般摺紙書旨趣略異。引導學生動手做摺紙，可以加深對於幾何的認識與理解。幾何學是人類因認識空間性質而建立的學問，傳統上都奉希臘先聖歐幾里得的《幾何原本》為圭臬。雖然《幾何原本》建立的公理方法，成為組織精確知識的楷模，但是對於大多數人而言，這套相當抽象的系統容易造成學習的障礙。而摺紙活動正能讓抽象的數學觀念具體化，而且方便學生操作把玩，有利於建立空間概念的直覺。這種直覺在解決學校考題之外，更重要的是能增強生活的技能，以及品味空間帶來的美感。

　　紙隨處可得，只需動動靈巧的手，結果就千變萬化。預祝政憲老師以這本精采的《藝數摺學》為開端，持續開發與課程對應的摺紙教材，輔導大家讚賞「藝數」，並且發揚光大「摺學」。

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推薦序——動手摺紙、體現數學、洞察數學

林福來（國立臺灣師範大學名譽教授、國立臺灣師範大學數學教育中心）

　　「動手做」，少；「公式、定理」，抽象，難！
　　年年如此，代代依然。這是多少國中生數理科的痛！

　　但翻轉的機會來了！
　　《藝數摺學》這本書，就將有感地引導我們體現數學，洞察數學！

　　於國中任教的師鐸獎名師李政憲，針對國中數學涉及的重要概念與定理；對稱、平行、比例、根號、因數、倍數、等比、一元二次方程式、畢氏定理、相似性質、三角形的心等等，將它們融入摺紙活動，提供讀者體現數學的機會，並享受應用數學製作藝品的喜悅！

　　以畢氏定理這主題為例，通常圖像式的有感教學方式有兩種，一種是畫一個正方形邊長為直角三角形的兩股和a+b，以其四個頂點為直角頂作四個直角三角形，此時原正方形被分割成四個直角三角形及一個以斜邊c為邊長的正方形。配合面積關係的平方公式，可導出畢氏定理。這方式學生不會直接從圖上看到+ = 。另一種方式，是在上述的原正方形第一次分割後，保留，再對原正方形作第二次分割，成兩個正方形 及兩個矩形ab。比較兩次分割的圖形，根據等量公理，學生直接看見 + = 。這兩種常見方式，都可用摺紙進行圖形的分割作業。但一般摺紙的作用，僅有將圖像學習轉換成操作式的動作學習，沒有功能上的延伸性。

　　但在《藝數摺學》這本書中設計的摺紙活動，除了同樣可以具體感受畢氏定理的不變性外，更引導讀者從一張正方形紙開始，造一個形內有四個直角三角形，且以直角三角形斜邊為邊長的正方形。方法是在原正方形一頂點處造第一個直角三角形，並將其向內摺疊，接下來當然是要在其他三個頂點處對稱的複製三個。此時，摺紙複製問題變成了造全等三角形的數學問題，需要根據全等三角形性質來思考怎麼摺可以恰好複製，學習手、腦交錯進行。這個過程將摺紙動作與數學思考整合在一起，使得摺紙活動不僅僅是勞作，而是體現數學的「具體操作、引動思考」的有感、有想的過程。過程中，「如何摺可以複製」，先被轉換成數學問題，再根據數學定理以決定摺的動作，這就是一種「動手做、有感體現數學、洞察數學」的學習過程，後面更可奠立在此基礎上，進而發展設計出「黃金勾股收納盒」等藝術品。

　　各位家長、老師、同學們，跟著李政憲老師「動手摺紙、體現數學、洞察數學」，幾趟有感的學習歷程下來，可以製作很多藝術品當伴手禮，更重要的未來的設計家、工程師就是你！

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推薦序──匠心獨具之「藝數」創作

洪萬生（國立臺灣師範大學數學系退休教授、臺灣數學史教育學會理事長）

　　在過去三十年間，摺紙從一種民俗的休閒遊藝，逐漸發展成為數學教師、數學家、摺紙達人，以及藝術家爭相投入的一種創作活動。其中，相關數學原理的提點或引入，是這個知識／實作活動最令人矚目的焦點。多年前，我就曾經指出摺紙之於數學教學，是對制式教育思維的一種衝擊與挑戰。現在，拜108課綱之賜，摺紙教學終於可以昂然地登堂入室了。

　　從「專業的」數學課綱內容來說，將摺紙活動引進正規的教學現場，當然可能對學生（乃至家長）造成一種「創造性」的「混淆」。所以產生混淆，可能是因為它不像傳統的數學課，只是些機械的、制式的解題。至於創造性呢，則是由於當我們刻意將課堂上制式的數學實作（mathematical practice）之「界線」模糊掉，亦即，只要跟數學沾得到一點關係的認知活動，我們都在所歡迎，那麼，藉由（比如說）摺紙教學，我們可以與學生分享的數學之「內涵」（譬如以落實108課綱精神為導向），就遠非傳統的制式內容及其教學所能望其項背了。

　　因此，從新課綱的素養導向來看，李政憲老師的《藝數摺學》的確是適時出現的參考用書。本書固然有許多作者的匠心獨具之「藝數」創作，然而，它不同於一般摺紙達人的著作，本書始終以實作提醒讀者：摺紙外型所以漂亮、結構所以堅固，都是因為數學原理蘊藏其中。事實上，在本書中，政憲老師就向我們DEMO他如何使用或展示諸如線對稱概念、畢氏定理、相似三角形概念、三角形邊角關係、立體圖形、尤（歐）拉公式、多面體對偶關係、平行四邊形、因數與倍數概念、斜率，乃至於三角形的三心等等，真是琳瑯滿目，「美」不勝收。

　　無論你是喜歡理解摺紙中的數學，或只是單純地喜歡好玩的摺紙，本書都是不可多得的參考讀物。我非常樂意推薦本書，希望你也會喜歡！

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推薦序——見證一位熱情第一線教師的成果

游森棚（國立臺灣師範大學數學系教授）

我從小蒐集各國摺紙書，到現在書架上已累積數百本，對於摺紙（Origami）的廣度只能用「瞠目結舌」四個字來形容。摺紙理論、摺紙與各科學領域的關聯、摺紙與科技工業的結合，都已是學界關注的主題，國際上每年更有舉辦摺紙科學的年會。

　　摺紙雖只靠「一張紙，一雙手」，然而每條折線，每一塊紙面，每個夾角，都是數學。站在數學的角度來看，最迷人的是摺紙與數學的關係。摺紙與數學的書籍坊間已經出版了不少，從簡單到深入，若干書籍也已經有中文翻譯。所以，讀者手上這本書有什麼特別呢？

　　首先，這本書可能是台灣第一本「出自本土」的，結合數學與摺紙的書；第二，書中的材料不少是第一次在台灣出版，其中更有作者自己設計的材料；最後，作者政憲老師任教於國中多年，這本書中的教案難易適中，寓教於樂，把摺紙與中學數學中許多題材無形融入其中，是不可多得的資料。

　　政憲老師這幾年已然成為國內知名的摺紙教師，從南到北在各地常看到他演講的身影，網路上的群組也吸引了不少忠實粉絲。多年前，他對摺紙的熱情就已經強到自己找廠商印製特殊的紙，經過這些年來的持續精進，更吸收了大量來自中國、日本與歐美的相關摺紙材料，結合自己的心得，設計出一套又一套獨特而新穎的教案。他努力結合摺紙與數學，傳教士般的熱情令我嘆服。

　　書中有一些作品屬於「模組摺紙」（Modular Origami）的範疇，亦即用一些相同的小單位拼成漂亮的成品。如第八章用撲克牌做出截半立方體，第九章的平行八角星等，模組摺紙把單獨的散片聚在一起，幻化出神奇的成果。這與合唱一樣，多個單獨的聲音合在一起可以成為天籟。特別這樣提是有道理的，因為我與政憲老師的相識與數學完全無關——他是我擔任師大合唱團指揮時的男高音團員！

　　時值十二年國教施行的當口，課綱讓第一線教師有非常大的發揮空間。我相信這本書的出版，可以提供第一線數學教師一些可以實地操作、而且效果奇佳的補充材料。欣見這本書的出版，見證一位熱情的第一線教師的成果，也更期待下一本書！
 
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推薦序──感受摺紙專家的熱情

賴以威（臺師大電機系助理教授、數感實驗室創辦人、臉譜「數感書系」特約主編）

　　曾有人說過，對創作者來說最大的肯定，就是他「偷走」了某個詞。當你講到那個詞時，你會想到的不只是詞原本的意義，還會立刻想起某個人。例如說到魔法，你可能會想到J.K羅琳，說到白鴿會想到吳宇森。在台灣，至少在台灣教育界，說到「摺紙」，我們會立刻想到李政憲老師（另一位也會浮現在腦海的是師大附中的彭良禎老師）。

　　我跟政憲老師是在某一次科教館的活動中見面，在那之前我早就聽聞他結合摺紙與數學的種種事蹟。我是個手上功夫很拙劣的人，很早就放棄美術，有時候還會用電玩裡面，每個人都會有固定點數的想法來安慰自己，我一定是把點數都放在學科上了，所以美術才會這麼差勁啊。政憲老師粉碎了我這個自我安慰的說法。他同時精通藝術與數學。那次見面時，我排在他的下一場活動，我提早到場，只見全場反應熱絡，大家像在上美勞課，可是政憲老師口中說出來的又都是數學名詞。走近一瞧，多數同學都能按照老師的引導，摺出精巧的作品。事隔很久我聽到另一句名言：

　　數學是要讓一般人，也能做到天才才能做的事。

　　當然摺紙距離所謂的天才還很遙遠，可是你會發現，政憲老師正是運用數學精準描述的特質，讓每一位學生都能摺出他設定的作品，恰恰落實了剛剛那句格言。

　　這本書收錄了很多政憲老師自創、或是與他人合作共創的摺紙作品，對老師來說「摺紙教案」或許更精準些，因為每一篇文章裡都有豐富的教學引導。我覺得這是另一個了不起的地方，我自己寫作，深感創作是一件不容易的事情；要創作出有創意的作品，那更需要相當程度的投入；要持續創作出有創意的作品，是職業級的專家才能達到。政憲老師在數學摺紙教育這個領域，就是職業級的專家。他產出質量俱佳的摺紙作品。更了不起的是，他帶著他的熱情，四處演講、舉辦工作坊。我們舉辦兩屆的數感嘉年華，你都可以看到政憲老師的攤位，永遠是最熱鬧的區域之一，政憲老師爽朗的聲音從一群大朋友、小朋友中間傳出來。如果你曾參加過政憲老師的研習，那你讀這本書時，或許會彷彿聽見政憲老師的聲音；如果你還沒參加過，那更該趕快打開這本書，體驗一下這位讓「摺紙」在台灣教育界成為顯學的重要推手的專業、熱情與魅力。

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推薦序──用摺紙玩數學，用數學玩摺紙

賴禎祥（臺灣紙藝大師、2016年奇美博物館「紙上奇蹟」全球特展唯一獲邀臺灣藝術家）

　　承蒙李政憲老師的厚愛，為《藝數摺學》一書撰寫推薦文，深感榮幸。李老師對數學摺紙不遺餘力，結合數學老師共備資訊，組成「藝數摺學」社團，現在人數已達九千多人，可喜可賀。今年又榮獲教師界之最高榮譽「師鐸獎」，實在是實至名歸，讓人尊敬的一位老師。

　　李老師的《藝數摺學》一書內容豐富，讓讀者同時體驗摺紙與數學的樂趣，也是所有數學老師課堂上必備的指標之書，讓數學老師與學生互動有所依據，實在是感恩之舉。在摺紙過程中教數學，使得學生對數學產生更高的興趣，上課也比較活潑生動，何樂而不為？

　　其實一張標準且等距的正方形紙張就是一把尺，它具備了對邊、對角、對數、對稱、等差、等比、等腰、等距的對等關係，能做出三角函數的任一形狀，圓規能夠畫出的圖形，也可以用正方形紙張來證明。摺紙真是一門不用筆不用尺的數學科目，說不完也研不盡。

　　就讓我們跟著李老師，一起用摺紙來玩數學，用數學來玩摺紙！

自序

　　從事教學工作二十餘年，為了推廣近年所實作過的摺紙課程，筆者於四年前成立了「藝數摺學」Facebook公開社團，迄今社團成員近萬人，也不定期分享課程辦理活動，讓更多人理解摺紙與數學、藝術如何結合。此次應師大賴以威教授推薦與臉譜出版社的邀約，花了近兩年的時間，把近十年來實作過的摺紙課程，寫成六個主題、十八個單元的文章供各位讀者實作。每個單元視內容多寡可實作一至兩節課，從七年級的對稱與三視圖，八年級的勾股定理、黃金比例、平面圖形、平行，到九年級的相似、立體圖形與內心等基礎知識及其延伸概念，網羅了七年級到九年級相關的數學內容。

　　若您的身分為國中生，建議可以搭配各單元所提到的先備知識製作相關作品，並跟著書裡的提問思考相關內容；若您的數學程度在高中以上，則可挑選您所喜歡的作品開始做起，並複習相關的數學概念，再來進行實作理解相關的幾何概念（各單元的一開始都有提及，建議從平面作品開始摺起多半比較容易）；若您的身份是教師，則可考慮要在教學前或教學後進行實作，做為引起動機、概念應用或延伸討論，並視單元屬性決定要用於正課中或彈性課程（含社團與輔導課）進行操作，相信對於您的教學將會事半功倍。若您要教學的對象是國小（建議三年級以上的手作能力較佳），則不妨帶著他先完成作品，一起欣賞數學作品的美，待適當時機再來提相關的知識內容，也算是另一種替孩子打下數學基礎的方式。

　　底下分別針對各主題簡介內容，讓各位讀者更容易上手：

　　主題一「鑲嵌與對稱」
　　在主題一中，我們將先認識山谷線等摺紙符號，學習摺製「鑲嵌作品」，並進一步透過對稱的數學概念，進行作品的理解與設計。接著利用名片紙摺製組裝立方體，學習新課綱新增的「三視圖」單元，再透過手作坊的內外翻摺紙環作品，了解翻動作品方式與對稱的關聯性，讓我們在實作中看到數學之用。

　　主題二「勾股定理」
　　主題二裡，我們會利用摺紙來學中學數學中最重要的畢氏定理，接著再進一步摺製可收納與堆疊的「勾股收納盒」，並理解如何在色紙上摺出黃金比例，製作正方體的盒子，在作品上看到數學之美。

　　主題三「四面體、八面體到截半立方體」
　　主題三裡，我將帶各位讀者探索會考考過的摺紙試題與特殊三角形的邊長關係為何？正四面體與正八面體摺法有何關聯？兩者體積的比例關係如何計算？又如何能填充空間？接著進一步理解正四面體、正方體的切割，並以四張撲克牌完成卡接截半立方體的作品，從數學出發，看見如何以摺紙漂亮解決考題中的疑惑。

　　主題四「平行八角星」
　　你知道如何利用平行的概念，完成一個動感的摺紙作品「平行八角星」嗎？而這個作品又能怎麼能從平面變為立體，再結合數學魔術，讓人眼睛為之一亮？不妨就從這個主題開始吧！

　　主題五「影印紙的立體應用」
　　延續主題三的立體作品，我們用日常生活中的影印紙，可以完成哪些令人感到神奇的作品？還有哪些不同的結合方式與變化呢？在新課綱強調素養導向的課程下，如何用已知的數學知識來解決問題？這個主題提供了兩個絕佳的例子！

　　主題六「相似與內心」
　　讓我們再回到課本中的知識內容吧！在完成主題五手作坊的「等腰三角形貝殼螺線」作品後，我們將其一般化，從「百轉千摺」作品中看見中學數學所學的母子相似性質。接著，我們將以色紙完成日常生活常見的三角板，並讓三角形內心在摺紙作品巧妙出現，還可以進一步設計屬於自己獨一無二的三角板作品，讓我們知道數學原來這麼有用！

　　本書動員了十來位現職教師協助審稿，並邀請十二位在數學教育與摺紙推動上不遺餘力的老師們協助推薦（請容許我於書末再致謝），然因倉促付梓，仍不免會有訛誤待修，還請各位讀者不吝指教。對於想研究摺紙數學相關知識的朋友們，願此書可以成為一塊入門磚，帶著各位理解摺紙數學與幾何知識能如何完美結合，並有系統的學習。而在完整實作並理解本書內容後，相信您一定能感受到摺紙與數學、藝術及生活確實是息息相關的，也對「藝數摺學」社團的宗旨更加認同。若各位讀者在閱讀後有興趣討論書中內容，或進一步研究其他數學摺紙作品，歡迎加入「藝數摺學」社團，讓我們一起達到「以藝為表，以數為本，以摺為始，以學為終」的目的吧！